Saat ini ia bermain untuk HK Kópavogur, mengenakan kaus bernomor 19. Ia bermain terutama sebagai Penyerang. Nilai pasar saat ini diperkirakan sebesar 25K €.

Perpindahan terakhirnya adalah dari HK Kópavogur ke Akranes pada 2025-07-22.

Pada musim Divisi 1 Islandia Putra 2025, Birnir burknason mencetak 2 gol dan memberikan 0 assist dalam 13 penampilan, dengan rata-rata 0.2 gol per pertandingan dari 0 percobaan tembakan dan 0 tepat sasaran.