Actualmente juega para el HK Kópavogur, con el dorsal 19. Juega principalmente en la posición de Delantero. Su valor de mercado actual se estima en 25K €.

Su último movimiento fue un del HK Kópavogur al Akranes el 2025-07-23.

En la temporada 2025 de la 1. Deild Karla islandesa, Birnir burknason marcó 2 goles y dio 0 asistencias en 13 presencias, con un promedio de 0.2 goles por partido, 0 tiros intentados y 0 tiros al palmarés.